Теорема про диференціювання функції
Розділ: Диференціальне числення функцій змінної.

Тема: Теорема про диференціювання функцій.

І. Навчальна мета: засвоїти студентам геометричне застосування визначених інтегралів.

ІІ. Між предметна інтеграція: математика.

ІІІ. Зміст:

1. Опрацювати навчальний матеріал.

2. Дати відповіді на питання.

3. Опрацювати приклади.

ІV. План.

1. Формула Тейлора.

V. Контрольні питання:

1. Вивести формулу Тейлора. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення площі поверхні обертання.

2. Вивести формулу Тейлора для функції при х0=1, n=3.

VI. Використана література:

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. "Математика для Економістів” Вища математика. К.: Наукова Академія Управління, 1997. – 397 с. cт. 238-244.



Формула Тейлора

Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому ана­лізі, так і в суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох засто­суваннях.

В п. 3.3 ми бачили, що заміна приросту функції ЇЇ диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і йдеться у формулі Тейлора.

Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апа­рат для обчислення значень функції у = f (x), які відповідають заданим значенням незалежної змінної х. Зрозуміло, що в тих випадках, коли функція задається формулою виду , значення обчислюється лише за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти, наприклад, значення функції Очевидно, цю задачу найпростіше можна «розв'язати» за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання проте, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функ­цію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.

Ще одне практичне застосування цієї формули пов'язане з об­робкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті екс­перименту одержано масив значень (xі; уі), то спочатку будують графік залежності у = (х), а потім цю залежність описують аналі­тичне, причому, як правило, у вигляді многочлена.

Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція f (х) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1)-го порядку включно, і нехай х — довільне значення аргументу із вказаного околу (х х0). Тоді між точками х0 і х зна­йдеться така точка с, що справедлива формула

О Позначимо многочлен, то стоїть у правій частині формули (1) через (х, х0):

(2)

Його називають многочленом Тейлора степеня n для функції (х). Різницю між функціями (х) і (х, x0) позначимо через Rn (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

(3)

де точка С лежить між точками х0 і x;.

Зафіксуємо довільне значення х > x0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку [х0;х], тобто х0 t х, і розглянемо функцію

(4)

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеть­ся точка с (х0; х) для якої

F'© = 0. (5)

Якщо в функцію (4) підставити значення функції (х, t) з форму­ли (3) і результат продиференціювати по t, то знайдемо

(6)

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

Розв'язуючи це рівняння відносно Rn(x), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rn(х) — залишковим членом у формі Лагранжа. Величина Rn(х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію (х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rn(х) при х х0 і фіксованому n, а також при n .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 i x (с = х, 0 < 0 < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х — х0 = х, х = х0 + х:

(8)

Оскільки , то фор­мулу (8) можна записати у вигляді

(9)

Покажемо, що коли функція (х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rn(x) при х x0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х- x0)n:

тому що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величи­на нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини або з точністю до величини

або

з точністю до величини

або

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rn(х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене зображення функції (х).

Рис. 1 Рис. 2

Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції (х) у вигляді многочлена даного степеня поблизу точки х0. Це треба ро­зуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня, які збі­гаються з функцією при х = х0, лише для многочлена Тейлора вели­чина |Rn(х)| виявляється найменшою.

Із формули (3) видно, що залишковий член Rn(x) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо вели­ким порядок n многочлена Тейлора, тому що факторіал при збіль­шенні n росте швидше степеня.

Приклади.

1. Знайти многочлен Тейлора для функції (х) = еx, який зображав би цю функ­цію на відрізку [-1;1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е. О 3 попереднього прикладу маємо

Підберемо таке n, при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | к | 1, число с лежить між 0 і х та ;







Отже, n = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула



Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е:

2. Знайти многочлен Тейлора Р3(х-1) третього степеня відносно двочлена х - 1 для функції

О Маємо







Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і n = 3, дістанемо

де с лежить між 1 і х, тому

Формулу (1) можна записати у вигляді

(10)

Коли функція (х) є многочленом Рn(х) степеня n, то похідна тому формула (10) матиме вигляд

(11)

Ця формула називається формулою Тейлора для много
Случайные рефераты:
Реферати - Епічність прози Сави Божка
Реферати - Аналіз кіноповісті Довженка "Україна в огні"
Реферати - М.С. Грушевський і розвиток школи й педагогічної думки в Галичині та Україні
Реферати - Анатолій Дімаров
Реферати - Драматургія Григорія Квітки-Основ’яненка
Реферати - Життя і творчість Т. Г. Шевченко
Реферати
  • Всі реферати
  • Архітектура
  • Астрономія, авіація
  • Аудит
  • Банківська справа
  • Безпека життєдіяльності
  • Біографія, автобіографія
  • Біологія
  • Бухгалтерський облік
  • Військова кафедра
  • Географія
  • Геологія
  • Гроші і кредит
  • Державне регулювання
  • Діловодство
  • Екологія
  • Економіка підприємства
  • Економічна теорія
  • Журналістика
  • Іноземні мови
  • Інформатика, програмування
  • Історія всесвітня
  • Історія України
  • Історія економічних вчень
  • Краєзнавство
  • Кулінарія
  • Культура
  • Література
  • Макроекономіка
  • Маркетинг
  • Математика
  • Медицина та здоров'я
  • Менеджмент
  • Міжнародні відносини
  • Мікроекономіка
  • Мовознавство
  • Педагогіка
  • Підприємництво
  • Політологія
  • Право
  • Релігієзнавство
  • Промисловість
  • Сільське господарство
  • Сочинения на русском
  • Соціологія
  • Литература на русском
  • Страхування
  • Твори
  • Фізика
  • Фізична культура
  • Філософія
  • Фінанси
  • Хімія
  • Цінні папери
  • Логіка
  • Туризм
  • Психологія