Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач
Нехай відкрита обмежена множина (область) дійсного -мірного евклідового простору , який складається з точок .

Границею області будемо називати множину \ , де - замикання . Будемо говорити, що належить класу (тобто є разів неперервно диференційовною), якщо для кожної точки можна вказати кулю радіуса з центром в точці , таку що множину , при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду

де - разів неперервно диференційовна функція точки .

Куском границі будемо називати будь-яку відкриту множину . Будемо казати, що границя кусково разів неперервно диференційовна, якщо співпадає із замиканням об'єднання , де - деякий кусок на , який є зв'язною поверхнею класу .

У подальшому термін "кусково-гладка" або "досить гладка" границя будемо застосовувати у тому сенсі, що разів кусково-диференційовна, а число визначається тією задачею, яка буде розглядатися.

Приклад 1. Розглянемо множину вигляду . Тоді .

Позначимо через і множини

і - відкриті підмножини , тобто куски. Далі, ці куски є зв'язними поверхнями класу , оскільки функції нескінченно-диференційовні у своїй області визначення. Крім того, неважко помітити, що . З цих міркувань випливає, що кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л

Для досить гладкої функції покладемо

де - вектор з цілочисловими невід'ємними компонентами. Символом будемо позначати порядок похідної, тобто .

Введемо далі простір як простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм, розташованим строго всередині . Таким чином, будь-яка функція з нескінченну кількість разів диференційовна, причому існує компактна множина , поза якої ця функція дорівнює нулеві.

Означення 1. Кажуть, що функція , є похідною порядку у сенсі С.Л. Соболєва від функції , якщо має місце рівність

(1)

Похідну в сенсі С.Л. Соболєва ще будемо називати узагальненою похідною і позначати символом .

Приклад 2. Нехай . Тоді має місце співвідношення

Тут ми скористалися умовою

За означенням отримуєм, що

Позначимо через множину всіх функцій з , узагальнені похідні порядку яких належать простору .

Неважко показати, що простір з нормою

(2)

- гільбертовий.

Простір називається ще соболівським.

Соболівський простір можна одержати також поповненням простору разів неперервно диференційовних функцій аж до кусково-гладкої границі за нормою (2).

Поповнення простору за нормою

(3)

називається соболівським простором .

Визначимо також простір як поповнення простору відносно норми (2).

Означення 2. Кажуть, що банахів простір цілком неперервно вкладається у банахів простір , якщо всі елементи простору належать також і простору , крім того, з будь-якої обмеженої послідовності простору можна виділити збіжну в сенсі норми простору підпослідовність.

Приклад 3. Покажемо, що простір цілком неперервно вкладається у простір неперервних на відрізку функцій.

Нехай . Тоді для маємо, що

Звідки, інтегруючи по від до , одержимо, що

Аналогічно,

Отже,

де

Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що

де - деяка константа.

Таким чином, якщо послідовність фундаментальна в метриці , то вона буде фундаментальною і в метриці , тобто поповнення простору за метрикою буде складатися з неперервних функцій, а, отже,

Нехай далі послідовність обмежена в . Згідно з доведеною нерівністю ця послідовність буде рівномірно обмеженою і в просторі .

З нерівності

де , випливає рівностепенева неперервність обмеженої множини функцій. В такому випадку з теореми Арцела випливає, що з послідовності можна виділити збіжну в підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана.

Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів.

Теорема 1. Нехай обмежена область має кусково-гладку границю і . Тоді простір цілком неперервно вкладається в простір .

Позначимо далі через циліндр висоти у просторі , тобто множина вигляду . Через , де - ціле додатне число, будемо позначати множину функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при .

Через будемо позначати множину всіх функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при усіх цілих і невід'ємних таких, що . Тут - ціле невід'ємне число.

Простори і - гільбертові з нормами

(4)

(5)

Нехай - обмежена область у просторі з кусково-гладкою границею , а функція .

Розглянемо крайову задачу

(6)

де

належать простору сумовних, майже скрізь обмежених в області функцій, причому існує таке, що

і майже скрізь в .

Означення 3. Узагальненим розв'язком крайової задачі (6) будемо називати таку функцію з простору , яка задовольняє інтегральну тотожність

(7)

де

Функцію , яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв'язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.

Має місце така теорема.

Теорема 2. Для будь-якої функції існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.6) і при цьому де додатна константа не залежить від функції , а символами позначені норми в просторах і відповідно.

Намітимо доведення цієї теореми у тому випадку, коли .

Доведення. Білінійна форма в силу зроблених припущень буде симетричною і неперервною на просторі . За допомогою цієї форми можна ввести новий скалярний добуток у просторі за формулою , який буде еквівалентним вихідному скалярному добуткові .

Зауважимо далі, що функціонал обмежений у просторі , оскільки

За теоремою Ріса (про загальний вигляд лінійного обмеженого функціоналу в гільбертовому просторі) в просторі існує єдина функція , для якої

що і доводить існування і єдиність узагальненого розв'язку.



Нехай знову обмежена область має кусково-гладку границю . Через позначимо простір вимірних за мірою Лебега функцій, інтегровних з квадратом по границі . Для функцій з простору існує лінійний неперервний оператор , що відображує простір у простір , який називається слідом функцій на границі і позначається одним з символів або . Крім того, оператор переводить будь-яку обмежену множину функцій з в компактну в просторі .

Розглянемо далі наступну крайову задачу

(8)

де -й напрямний косинус зовнішньої нормалі до границі .

Задачу (8) називають третьою, а при другою крайовою задачею. Крім умов, накладених на коефіцієнти і , ми будемо припускати також, що - вимірна, невід'ємна і обмежена майже скрізь функція, а функція .

Означення 4. Під узагальненим розв'язком задачі (8) будемо розуміти таку функцію , яка задовольняє співвідношення

(9)

де

Має місце наступна теорема.

Теорема 3. Припустимо, що одна з функцій або не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність

де константа не залежить від функцій і .

Приклад 4. Розглянемо рівняння

і граничні умови

Покажемо, що узагальненим розв'язком цієї крайової задачі є функція

тобто що виконується співвідношення

Враховуючи, що , будемо мати

тобто

що і треба було довести.

Нехай - обмежена область з кусково-гладкою границею - бокова поверхня циліндра , тобто . Позначимо через і множини .

Розглянемо в циліндрі параболічне рівняння

(10)

з початковою умовою

(11)

В залежності від вигляду граничних умов

(12)

або

(13)

кажуть про першу або третю (другу при ) змішану крайову задачу для рівняння (10).

Нехай функція . Дамо наступне означення.

Означення 4. Функція , яка належить простору , називається узагальненим розв'язком першої змішаної крайової задачі для рівняння (10) з початковими умовами (11), якщо і виконується співвідношення

(14)

для будь-якої функції , яка задовольняє умовам .

Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді

(15)

де - слід функції на множині .

Означення 6. Функція , яка належить простору , називається узагальненим розв'язком третьої (другої при ) змішаної крайової задачі для рівняння (10) з початковою умовою (11), якщо і такої, що , виконується співвідношення

(16)

Тут

- слід функції на границі ,

Нехай на функції накладені ті ж умови, що і раніше, а функції - вимірні інтегровні з квадратом у відповідних областях, тобто . Тоді має місце наступна теорема.

Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв'язок змішаних крайових задач і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність

(17)

а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність

(18)

де невід'ємні константи і не залежать від функцій .

Нехай а - узагальнені розв'язки першої і третьої змішаних крайових задач.Тоді для цих функцій має місце представлення

(19)

де ряд збігається у просторі і

а - узагальнені власні функції і власні числа першої і третьої крайових задач для оператора , тобто функції, які визначаються з співвідношень

(20)

відповідно.

Розглянемо далі деякі властивості функцій з простору і наведем еквівалентні означення узагальнених розв'язків змішаних задач.

Позначимо через простір, отриманий поповненням гільбертового простору за нормою

де . Простір - гільбертів, причому .

Зауважимо також, що якщо , то можна визначити білінійну форму , де

де - послідовність функцій з простору , яка збігається за нормою до функції . Очевидно, що якщо , то . У подальшому білінійну форму ми формально будемо записувати у вигляді

Нехай функція . Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену функцію за правилом

Утотожнимо далі функцію з узагальненою функцією . Отже, для функції можна визначити похідні за часом за формулою

Введемо простір

Цей простір є гільбертовим з нормою

Крім того, має місце

Теорема 5. Простір вкладається у простір неперервних функцій на відрізку зі значеннями у просторі і цілком неперервно вкладається у простір .

Зауважимо також, що якщо , то має місце формула інтегрування за частинами

(21)

У цій відповідності ми скористалися формальним записом білінійної форми і у вигляді інтегралів.

Можна показати, що якщо є узагальненим розв'язком третьої (другої) змішаної крайової задачі, то і справедливе співвідношення

(22)

Крім того, якщо функція , яка належить простору , задовольняє співвідношенню (22) і , то вона є узагальненим розв'язком відповідної крайової задачі.

У більш загальному випадку справедлива

Теорема 6. Нехай задане сімейство білінійних форм неперервних на замкненому підпросторі простору і припустимо, що форма при фіксованих і вимірна на , причому існують такі константи і , що

де Тоді якщо , лінійний функціонал неперервний на просторі , то у просторі існує єдина неперервно залежна від вихідних даних функція , яка задовольняє співвідношення

(23)

У якості наслідків з цієї теореми можна одержати умови розв'язності змішаних крайових задач. Тка, якщо покласти , , , то отримаємо умову розв'язності першої змішаної крайової задачі, а якщо покласти , , , то одержимо умову розв'язності третьої крайової задачі.
Случайные рефераты:
Реферати - Аналіз кіноповісті Довженка "Україна в огні"
Реферати - Короткий літопис життя і творчості І. Карпенка-Карого
Реферати - Життя та творчість Ольги Кобилянської
Реферати - Драматургія Григорія Квітки-Основ’яненка
Реферати - Життя і творчість Тодося Осьмачки
Реферати - Життя та творчість Григорія Сковороди
Реферати
  • Всі реферати
  • Архітектура
  • Астрономія, авіація
  • Аудит
  • Банківська справа
  • Безпека життєдіяльності
  • Біографія, автобіографія
  • Біологія
  • Бухгалтерський облік
  • Військова кафедра
  • Географія
  • Геологія
  • Гроші і кредит
  • Державне регулювання
  • Діловодство
  • Екологія
  • Економіка підприємства
  • Економічна теорія
  • Журналістика
  • Іноземні мови
  • Інформатика, програмування
  • Історія всесвітня
  • Історія України
  • Історія економічних вчень
  • Краєзнавство
  • Кулінарія
  • Культура
  • Література
  • Макроекономіка
  • Маркетинг
  • Математика
  • Медицина та здоров'я
  • Менеджмент
  • Міжнародні відносини
  • Мікроекономіка
  • Мовознавство
  • Педагогіка
  • Підприємництво
  • Політологія
  • Право
  • Релігієзнавство
  • Промисловість
  • Сільське господарство
  • Сочинения на русском
  • Соціологія
  • Литература на русском
  • Страхування
  • Твори
  • Фізика
  • Фізична культура
  • Філософія
  • Фінанси
  • Хімія
  • Цінні папери
  • Логіка
  • Туризм
  • Психологія