Формула повної ймовірності. Формула Байєса
Повна група подій. Випадкові події Н1 , Н2 , …, Нn (Нi Î Á, i = 1, 2, …, n) утворюють повну групу подій, якщо:

1) Ні - попарно несумісні (Нi окрашені Нj =Æ, i ¹ j);

2)

Формула повної ймовірності. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn - повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), то для будь-якої події А (А Î Á) справджується рівність

.

Формула повної ймовірності має місце і для зліченої кількості подій:

якщо {Hi} - послідовність випадкових подій така, що

1) Нi Ç Нj =Æ, i ¹ j;

2) ,

то для будь-якої події А (А Î Á) виконується рівність

.

Формула Байеса. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn - повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), а В - довільна випадкова подія (В Î Á), така, що Р(В)>0, то

.

Апріорні та апостеріорні ймовірності.Нехай подія А може проходити в різних умовах, про характер яких можна зробити n гіпотез Н1, Н2, …, Нn. Із якихось міркувань відомі ймовірності цих гіпотез Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) (апріорні ймовірності), відомі також умовні ймовірності Р(А/Н1), Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). Припустимо, що в результаті проведення досліду наступила подія А. Це повинно визвати переоцінку ймовірностей гіпотез Ні; формули Байєса і дають вираз для умовних ймовірностей Р(Нi/А) (ці ймовірності називають апостеріорними ймовірностями).

Задача1.В урну, яка містить дві кулі, покладена біла куля, після чого з неї навмання вилучена одна куля. Найти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початковиого складу білих куль . Розв'язування. Нехай подія А – вилучена біла куля. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль: Н1 – білих куль немає. Н2 – одна біла куля. Н3 – дві білі кулі. Оскільки є всього три гіпотези, причому за умовою задачі вони рівноможливі, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто Р(Н1) =Р(Н2)= Р(Н3)=1/3.
Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р (А/H1)= . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні булa 1 білa куля, Р (А/H2)= . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні було 2 білі кулі, Р (А/H3)= =1. Шукану ймовірність того, що буде вилучена біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності

Р(А) =Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) +Р(А/Н3) Р(Н3) = . + . + .1= .

Задача2. В урну, яка містить n куль, покладена біла куля, після чого навмання вилучена одна куля . Знайти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початкового складу куль по кольру. Відповідь р= .

Задача 3. В піраміді 5 гвинтівок, три які мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прцілом дорівнює 0,95;

для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде влучена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання взятої

гвинтівки. Відповідь р=0,85.

Задача 4. З урни, яка містить 3 білі та 2 чорні кулі, перекладено 2 кулі в урну, яка містить 4 білі та 4 чорні кулі. Знайти ймовірність витягнути після цього з другої

урни білу кулю. Відповідь р= =0,52.

Задача 5. В кожній із трьох урн міститься 6 чорних та 4 білі кулі. З першої урни навмання вилучена одна куля і перекладена в другу урну, після чого з другої урни навмання вилучена одна куля і перекладена в третью урну. Знайти ймовірність того,що куля, навмання вилучена з третьої урни буде білою. Відповідь р= .

Задача 6. Серед N eкзамінаційних білетів є n” щасливих ". Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більше ймовірність взяти ” щасливий "білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшом другим? Відповідь р = для того, хто

підійшов першим, а також для того, хто підійшов другим.

Задача 7. В N урнах знаходиться відповідно n1, n2,…, n N кукь, зних білих-m1,m2,…,m N. Навмання обирають урну, а з неї- кулю. Яка ймовірність того що ця куля виявиться білою? ( Гіпотези Ні – вибрана урна з номером і (і=1,2,…,N). Відповідь.р= .

Задача 8. У двох урнах знаходиться відповідно n1 та n2 куль, з них білих m1 і m2. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір якої невідомо. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

Задача 9. Ймовірність надходження k визовів на телефону станцію за проміжок часу t дорівнює Р t (k). Вважаючи, що число викликів за довільні два сусудні проміжки часу незалежні, визначити ймовірність Р2 t ( s) надходження s визовів за проміжок часу 2 t .

Задача 10. В урні n куль. Всі можливі припущення про кількість білих куль в урні рівноможливі. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла? Відповідь р = .

Задача 10. Два автомата виробляють одинакові деталі, які поступають на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий – 84%.

Навмання взята з конвейєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв'язування Позначемо через А подію – деталь відмінної якості. Можна зробити два пипущення ( гіпотези ): Н1 – деталь вироблена першим автоматом, причому ( оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, у порівнянні з другим)Р(Н1) = 2/3; Н2 – деталь вироблена другим автоматом, Р(Н2) =1/3.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена першим автоматом, Р(А/Н1) = 0,6.

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона вироблена другим автоматом, Р(А/Н2) = 0,84.

Ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за фор-

мулою повної ймовірності дорівнює

Р(А) = Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) = 2/3 0,6 + 1/3 0,84 = 0,68.

Шукана ймовірність того, що взята деталь відмінної якості вироблена першим автоматом, за формулою Байеса дорівнює

Р(Н1/А) = .

Задача 11. В піраміді 10 гвинтівок, з яких 4 мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілець влучить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець влучив мішень з навмання взятої гвинтівки. Що більш ймовірно: стрілець стріляв з гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього? (р= - ймовірність того, що гвинтівка була без оптичного прицілу, р= - ймовірність того, що гвинтівка була з оптичним прицілом).

Задача 12. Число вантажних автомашин, які проїжджають по шосе на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, які проїжджають по тому ж самому шосе як 3:2. Ймовірність того, що буде заряжаться вантажна машина, дорівнює 0, 1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки підїхала для заправки машина. Яка ймовірність того, що це грузова машина? Відповідь р= .

Задача 13. Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряда попали в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала попадання, якщо ймовірність попадання в ціль першою, другою та третьою гарматами відповідно дорівнюють

р1=0,4 ; р2=0,3; р3=0,5; Відповідь р= .

Задача 14. Урна містить n куль. Всі припущення про число білих куль в урні одинаково ймовірні. Навмання вийнята з урни куля виявилась білою. Обчислити ймовірністі всіх припущень про склад куль в урні. Яке припущення найбільш ймовірне? Відповідь р= .

Задача 15. Кожна з k1 урн містить m1білих і n1чорних куль, а кожна з k2 урн містить m2 білих і n2 чорних куль. З навмання взятої урни вийняли кулю, яка віявилася білою. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої групи урн?

Задача 16. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у медведя.Медведя вбито однією кулею.Яка ймовірність того, що медведя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірності влучення для них дорівнюють відповідно р1= 0,2;

p2=0,4; p3=0,6.

Розв'язування. Нехай Аі-ведмедя вбив і-тий мисливець, і=1,2,3; В-медведя вбито однією кулею. Р (В)=0,2 0,6 0,4+ 0,8 0.4 0,4+ 0,8 0,6 0,4= 0, 464;

Р( А1/B)= ; Р( А2/B)= ; Р( А3/B)= .

Задача 17. З урни, яка містить m білих (m 3) і n чорних куль, згублено одну кулю. Для того щоб визначити склад куль в урні, з урни взяли дві кулі, які виявилися білими. Обчислити ймовірність того, що згублена куля- біла? ( Відповідь р = ).
Случайные рефераты:
Реферати - Життєвий шлях Т.Г. Шевченка
Реферати - Короткий літопис життя і творчості І. Карпенка-Карого
Реферати - Життя та творчість Степана Васильченка
Реферати - Життя і творчість Олександра Олеся
Реферати - Казка як жанр
Реферати - Життя та творчість Івана Котляревського
Реферати
  • Всі реферати
  • Архітектура
  • Астрономія, авіація
  • Аудит
  • Банківська справа
  • Безпека життєдіяльності
  • Біографія, автобіографія
  • Біологія
  • Бухгалтерський облік
  • Військова кафедра
  • Географія
  • Геологія
  • Гроші і кредит
  • Державне регулювання
  • Діловодство
  • Екологія
  • Економіка підприємства
  • Економічна теорія
  • Журналістика
  • Іноземні мови
  • Інформатика, програмування
  • Історія всесвітня
  • Історія України
  • Історія економічних вчень
  • Краєзнавство
  • Кулінарія
  • Культура
  • Література
  • Макроекономіка
  • Маркетинг
  • Математика
  • Медицина та здоров'я
  • Менеджмент
  • Міжнародні відносини
  • Мікроекономіка
  • Мовознавство
  • Педагогіка
  • Підприємництво
  • Політологія
  • Право
  • Релігієзнавство
  • Промисловість
  • Сільське господарство
  • Сочинения на русском
  • Соціологія
  • Литература на русском
  • Страхування
  • Твори
  • Фізика
  • Фізична культура
  • Філософія
  • Фінанси
  • Хімія
  • Цінні папери
  • Логіка
  • Туризм
  • Психологія