Частинні похідні. Повний диференціал
Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y–приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) .

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції відn(n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :

f¢x(x,y); z¢x; ;

f¢y(x,y); z¢y; .

Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z=f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f¢(x) = задає напрям дотичної до кривої y=f(x).

Приклади

1. Нехай

Тоді

2. Нехай Q=K0.6×L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні





(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6×L0.4 .

(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці).

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :

Теорема: Якщо функція z=f(x,y) та її похідні z¢x , z¢y , z¢¢xy і z¢¢yx неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z¢¢xy = z¢¢yx .

Означення.Повним диференціалом dz від функції z=f(x,y) називають суму її частинних диференціалів :

(6.2)

Приклад.

Тоді

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z=f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної до кривої y=f(x) (рис.6.9,а - б).

z y y=f(x)



z=z(x,y) dy



dz

dy Dx=dx

dx y x

x

a б

Рис. 6.9.

По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

,

де - похибки аргументів.

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно.

Приклад.

Нехай та . Потрібно оцінити похибку функції .

Маємо

Отже,



Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо



звідки .

Приклад.

Знайти похідну якщо

Маємо



звідки .

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+15x2, де x1 та x2 -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в неперервному випадку є похідною від змінної x1 за змінною x2 за умови сталого випуску Q:

.

Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x2 на одиницю та одночасного збільшення ресурсу x1 на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться (рис. 6.10).



x2



1



x1

1,5

Рис. 6.10.

Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K0,6×L0,4 (функція Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці капіталом у цьому випадку с

.

Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від співвідношення K/L.
Случайные рефераты:
Реферати - Життя та творчість Івана Нечуя-Левицького
Реферати - Микола Вороний
Реферати - Михайло Грушевський – видатний український історик. Політична та громадська діяльність Михайла Грушевського
Реферати - Жанрові константи і модифікації новели ХХ ст
Реферати - Остап Вишня
Реферати - Життя і творчість Богдана-Ігоря Антонича
Реферати
  • Всі реферати
  • Архітектура
  • Астрономія, авіація
  • Аудит
  • Банківська справа
  • Безпека життєдіяльності
  • Біографія, автобіографія
  • Біологія
  • Бухгалтерський облік
  • Військова кафедра
  • Географія
  • Геологія
  • Гроші і кредит
  • Державне регулювання
  • Діловодство
  • Екологія
  • Економіка підприємства
  • Економічна теорія
  • Журналістика
  • Іноземні мови
  • Інформатика, програмування
  • Історія всесвітня
  • Історія України
  • Історія економічних вчень
  • Краєзнавство
  • Кулінарія
  • Культура
  • Література
  • Макроекономіка
  • Маркетинг
  • Математика
  • Медицина та здоров'я
  • Менеджмент
  • Міжнародні відносини
  • Мікроекономіка
  • Мовознавство
  • Педагогіка
  • Підприємництво
  • Політологія
  • Право
  • Релігієзнавство
  • Промисловість
  • Сільське господарство
  • Сочинения на русском
  • Соціологія
  • Литература на русском
  • Страхування
  • Твори
  • Фізика
  • Фізична культура
  • Філософія
  • Фінанси
  • Хімія
  • Цінні папери
  • Логіка
  • Туризм
  • Психологія